Question

10．在数列{a_n}中a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2），且a₁=1，a₂=3，设b_n=a_n+1+λa_n，是否存在λ使{b_n}成等比数列．

Answer 1

分析 假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，设$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}=q$（n≥2），转化为a_n+1+λa_n=q（a_n+λa_n-1），就是a_n+1=（q-λ）a_n+qλa_n-1，与a_n+1=a_n+2a_n-1比较系数求得λ的值．

解答 解：假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，
设$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}=q$（n≥2），
即a_n+1+λa_n=q（a_n+λa_n-1），
也就是a_n+1=（q-λ）a_n+qλa_n-1．
已知a_n+1=a_n+2a_n-1，得$\left\{\begin{array}{l}{q-λ=1}\\{qλ=2}\end{array}\right.$，
解得λ=1或λ=-2．
∴存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．
当λ=1时，数列{b_n}为首项是4、公比是2的等比数列；
当λ=-2时，数列{b_n}为首项是1、公比是-1的等比数列．

点评 本题考查了数列递推式，训练了利用比较系数法求参数的值，体现了数学转化思想方法，是中档题．