Question

9．设f（x）=ae^x+$\frac{1}{{a{e^x}}}$+b（a＞0）
（ I） 设曲线y=f（x）在点（2，f（2））的切线方程为y=$\frac{3}{2}$x；求a，b的值．
（ II）求f（x）在[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），根据导数的几何意义和条件列出方程组，求出a、b的值；
（Ⅱ）设t=e^x（t≥1），代入原函数化简并求出导数，根据临界点和区间对a进行分类讨论，利用导数与单调性、基本不等式求出函数的最小值．

解答 解：（I）由题意得，$f（x）=a{e}^{x}+\frac{1}{a{e}^{x}}+b$，则$f′（x）=a{e}^{x}-\frac{1}{a{e}^{x}}$，
因为在点（2，f（2））的切线方程为y=$\frac{3}{2}$x，所以$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=3}\\{f′（2）=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a{e}^{2}+\frac{1}{a{e}^{2}}+b=3}\\{a{e}^{2}-\frac{1}{a{e}^{2}}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{{e}^{2}}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$…（6分）
（Ⅱ）设t=e^x（t≥1），则原函数化为：$y=at+\frac{1}{at}+b$，
所以$y′=a-\frac{1}{a{t}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{t}^{2}-1}{a{t}^{2}}$，
令y′=0，解得t=$±\frac{1}{a}$，
（1）当a≥1时，则y′＞0在[1，+∞）上成立，
所以函数$y=at+\frac{1}{at}+b$在[1，+∞）上是增函数，
则当t=1（x=0）时，函数f（x）取到最小值是$a+\frac{1}{a}+b$；
（2）当0＜a＜1时，$y=at+\frac{1}{at}+b$≥2+b，
当且仅当at=1（t=e^x=$\frac{1}{a}$＞1，则x=-lna）时，取等号，
此时函数f（x）取到最小值是b+2，
综上可得，当a≥1时，函数f（x）的最小值是$a+\frac{1}{a}+b$；
当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值是b+2．…（12分）

点评 本题考查求导公式和法则，导数的几何意义，以及导数与函数单调性、基本不等式求函数的最值问题，属于中档题．