Question

4．已知函数f（x）=mx-lnx（m∈R）
（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在x=2处切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先将m=1代入函数的表达式，求出函数的导数，从而求出切点的坐标以及直线的斜率，代入点斜式方程整理即可；
（Ⅱ）先求出函数的导数，通过讨论m的符号，从而得到函数的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）m=1时，f（x）=x-lnx，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，f′（2）=$\frac{1}{2}$，f（2）=2-ln2，
∴切线方程为：y-2+ln2=$\frac{1}{2}$（x-2），
即：x-2y-2ln2+2=0．
（Ⅱ）∵f′（x）=m-$\frac{1}{x}$=$\frac{mx-1}{x}$，（x＞0），
①m＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{m}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{m}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{m}$）递减，在（$\frac{1}{m}$，+∞）递增，
②m＜00时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）递减．

点评 本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查曲线的切线方程问题，是一道中档题．