Question

16．已知数列{a_n}满足2a₁+2²a₂+…+2ⁿa_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2．
（1）求a₁及通项公式a_n；
（2）求证：$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由2a₁=（2-1）2²⁺¹+2=6，解得a₁=3，同时2ⁿa_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2-[（2n-3）2ⁿ+2]=（4n-2-2n+3）2ⁿ，即a_n=2n+1；
（2）${{a}_{n}}^{2}$=（2n+1）（2n+1）=4n²+4n+1＞4n²+4n，所以$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$＜$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，从而$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$＜$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}）$+$\frac{1}{4}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$＜$\frac{1}{4}$．

解答 （1）解：根据题意，得2a₁=（2-1）2²⁺¹+2=6，解得a₁=3，
∵2a₁+2²a₂+…+2^n-1a_n-1=（2n-3）2ⁿ+2，
∴2ⁿa_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2-[（2n-3）2ⁿ+2]
=（2n-1）2ⁿ⁺¹-（2n-3）2ⁿ
=（4n-2-2n+3）2ⁿ，
即a_n=2n+1；
（2）证明：由（1）知${{a}_{n}}^{2}$=（2n+1）（2n+1），
又（2n+1）（2n+1）=4n²+4n+1＞4n²+4n，
所以$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$＜$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
从而$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$＜$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}）$+$\frac{1}{4}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．