Question

3．已知抛物线的方程x²=2py（p＞0），它的准线为y=-$\sqrt{3}$．以坐标轴为对称轴的椭圆的一个焦点与该抛物线的焦点重合，椭圆的长轴为4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，求使△PAB的面积为$\sqrt{2}$-1的点P的个数．

Answer 1

分析 （I）抛物线的方程x²=2py（p＞0），它的准线为y=-$\sqrt{3}$．可得$\frac{P}{2}=\sqrt{3}$，解得p，可得抛物线的焦点．设椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
利用c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，又2a=4，解出即可．
（II）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$解得A，B，可得|AB|，由△PAB的面积为$\sqrt{2}$-1，利用$\frac{1}{2}|AB|d$=$\sqrt{2}$-1，可得d．设与椭圆相切且与直线l平行的直线为：y=2x+m，与抛物线方程联立化为8x²+4mx+m²-4=0，令△=0，解得m．求出切线与直线AB的距离与d比较即可判断出．

解答 解：（I）抛物线的方程x²=2py（p＞0），它的准线为y=-$\sqrt{3}$．
∴$\frac{P}{2}=\sqrt{3}$，解得p=2$\sqrt{3}$，
可得抛物线的焦点$（0，\sqrt{3}）$．
设椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
∴c=$\sqrt{3}$=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，又2a=4，
∴a=2，b²=1，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$．
（II）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$解得A（-1，0），B（0，2）．
∴|AB|=$\sqrt{5}$，
∵△PAB的面积为$\sqrt{2}$-1，
∴$\frac{1}{2}|AB|d$=$\sqrt{2}$-1，∴d=$\frac{2（\sqrt{2}-1）}{\sqrt{5}}$．
设与椭圆相切且与直线l平行的直线为：y=2x+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为8x²+4mx+m²-4=0，
令△=16m²-32（m²-4）=0，解得$m=±2\sqrt{2}$．
∴切线方程为：$y=2x±2\sqrt{2}$，
当m=2$\sqrt{2}$时，直线l与切线y=2x+$2\sqrt{2}$的距离d₁=$\frac{|2\sqrt{2}-2|}{\sqrt{2}}$=$2-\sqrt{2}$＞d；
当m=-2$\sqrt{2}$时，直线l与切线y=2x-$2\sqrt{2}$的距离d₂=$\frac{|2+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=$2+\sqrt{2}$＞d．
综上可得：使△PAB的面积为$\sqrt{2}$-1的点P的个数为4．

点评 本题考查了抛物线与椭圆的标准及其性质、直线与椭圆相交相切问题转化为方程联立、平行线之间的距离、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．