Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，底面ABCD是直角梯形，且 AB⊥AD，AD=3，∠CDA=45°，点E在线段AD上，且CE∥AB．
（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．
（Ⅲ） 求二面角B-PC-D的余弦值的绝对值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图，
∵CE∥AB，AB⊥AD，∴CE⊥AD，
又∵PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，∴PA⊥CE
又∵PA∩AD=A，∴CE⊥平面PAD．
（Ⅱ）解：由CE⊥AD，∴△CED为直角三角形，又∠CDA=45°，
∴ED=CE=1，又AD=3，则AE=2，∴BC=2，
则直角梯形ABCD的面积为，
所以，=．
（Ⅲ）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则各点坐标分别为：A（0，0，0），P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，3，0）．
，，，
设平面PBC的法向量，平面PCD的法向量为
则，即，不妨取z=1，则，
，即，不妨取y₁=1，则z₁=3，x₁=1，
∴．
∴===．
所以，二面角B-PC-D的余弦值的绝对值为．
分析：（Ⅰ）要证明CE⊥平面PAD，只要证明CE垂直于面PAD内的两条垂线即可，由PA垂直于底面，可得PA⊥CE，根据CE∥AB，
AB⊥AD，可得CE⊥AD，则利用线面垂直的判定得到证明；
（Ⅱ）求出底面直角梯形的面积后直接代入棱锥的体积公式即可；
（Ⅲ）把求二面角B-PC-D的余弦值的绝对值，转化为求两个面的法向量所成角的余弦值的绝对值，可以利用空间向量来解决，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建系，列出要用点的坐标，求出两个平面的法向量，运用向量夹角公式求夹角的余弦值．
点评：本题考查了线面垂直的判定，考查了棱锥体积公式的求法，训练了利用平面法向量求二面角的大小，利用空间向量解决问题，关键是能够找到三条两两相互垂直的直线，这是建系的基础，此题是中档题．