Question

19．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为$\frac{16}{3}$，则该三棱锥的外接球的表面积$\frac{80π}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r．利用截面圆的性质即可求出OO₁，进而求出底面ABC上的高PD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题．

解答 解：根据题意作出图形
设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O₁，
则OO₁⊥平面ABC，延长CO₁交球于点D，则PD⊥平面ABC．
∵CO₁=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OO₁=$\sqrt{{r}^{2}-\frac{16}{3}}$，
∴高PD=2OO₁=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{16}{3}}$，
∵△ABC是边长为4正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}$=4$\sqrt{3}$
∴V_{三棱锥P-ABC}=$\frac{1}{3}$×4$\sqrt{3}$×2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{16}{3}}$=$\frac{16}{3}$，
∴r²=$\frac{20}{3}$．
则球O的表面积为4πr²=$\frac{80π}{3}$．
故答案为$\frac{80π}{3}$．

点评 本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点P到面ABC的距离．