Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）当m≥ 时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（ ）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=lnx﹣mx，∴ ，x＞0；

当m＞0时，由1﹣mx＞0解得x＜ ，即当0＜x＜ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

由1﹣mx＜0解得x＞ ，即当x＞ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；

当m=0时，f'（x）= ＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当m＜0时，1﹣mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；

∴当m＞0时，f（x）的单调递增区间为（0， ），单调递减区间为（ ，+∞）；

当m≤0时，f（x） 的单调递增区间为（0，+∞）； …（5分）

（2）解：g（x）=2f（x）+x2=2lnx﹣2mx+x2，则 ，

∴g'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1=0的两根；

又∵m≥ ，

∴△=m2﹣4＞0，x1+x2=m，x1x2=1；

又∵x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，

∴lnx1﹣cx12﹣bx1=0，lnx2﹣cx22﹣bx2=0，

两式相减得 ﹣c（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）=0，

得b= ，

而 ，

∴y=

= ]

= = ，

令 （0＜t＜1），

由（x1+x2）2=m2得x12+x22+2x1x2=m2，

因为x1x2=1，两边同时除以x1x2，得t+ +2=m2，

∵m≥ ，故t+ ≥ ，解得t≤ 或t≥2，∴0＜t≤ ；

设G（t）= ，

∴G'（t）= ，则y=G（t）在（0， ]上是减函数，

∴G（t）min=G（ ）=﹣ +ln2，

即 的最小值为﹣ +ln2

【解析】（1）求出函数f（x）的导数，讨论m的取值，利用导数判断函数f（x）的单调性与单调区间；（2）对函数g（x）求导数，利用极值的定义得出g'（x）=0时存在两正根x1 ， x2；
再利用判别式以及根与系数的关系，结合零点的定义，构造函数，利用导数即可求出函数y的最小值．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．