Question

表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a_ij（i，j∈N^*），则
（1）a₉₉=

 

；
（2）表中数99共出现

 

次．

2	3	4	5	6	7	…
3	5	7	9	11	13	…
4	7	10	13	16	19	…
5	9	13	17	21	25	…
6	11	16	21	26	31	…
7	13	19	25	31	37	…
…	…	…	…	…	…	…

Answer 1

考点：归纳推理

专题：规律型,等差数列与等比数列

分析：（I）根据表中的规律可得第i行等差数列的公差为i，由此算出第一行数组成的数列通项为a_1j=j+1，再根据第j列等差数列的公差等于j，算出a_ij=ij+1．由此代入数据即可算出a₉₉的值；
（II）由（I）中求出的通项公式a_ij=ij+1，可得a_ij=99即ij=98，算出i、j的情况有6种，由此可得表中数99共出现6次．

解答： 解：根据题意，第i行的等差数列的公差为i，第j列的等差数列的公差等于j，（i、j∈N⁺），
∴第一行数组成的数列a_1j（j=1，2，…）是以2为首项，公差为1的等差数列，
可得a_1j=2+（j-1）×1=j+1，
又∵第j列数组成的数列A_1j（i=1，2，…）是以a_1j为首项，公差为j的等差数列，
∴a_ij=a_1j+（i-1）×j=（j+1）+（i-1）×j=ij+1．
（I）∵a_ij=ij+1，
∴a₉₉=9×9+1=82；
（II）由a_ij=ij+1=99，得ij=98，
∴i=98且j=1、i=1且j=98、i=2且j=49、i=49且j=2、i=7且j=14或i=14且j=7，可得等于99的项共有6项．
因此表中99总共出现6次．
故答案为：82，6

点评：本题给出“森德拉姆素数筛”的例子，求表格中的指定项，并求82在表中出现了几次．着重考查了等差数列的通项公式及其应用的知识，属于中档题．