Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：
（1）a₁＜0，b₁＞0；
（2）当时a_k=a_k-1，；当时，，b_k=b_k-1（k≥2，k∈N^*）．
（Ⅰ）如果a₁=-3，b₁=7，试求a₂，b₂，a₃，b₃；
（Ⅱ）证明：数列{b_n-a_n}是一个等比数列；
（Ⅲ）设n（n≥2）是满足b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n的最大整数，证明．

Answer 1

解：（1）因为，所以a₂=a₁=-3，
因为，所以，b₃=b₂=2
（2）证明：当时，；
当时，
因此不管哪种情况，都有，所以数列{b_n-a_n}是首项为b₁-a₁，
公比为的等比数列
（3）证明：由（2）可得
因为b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n（n≥2），所以b_k≠b_k-1（2≤k≤n），
所以不成立，所以
此时对于2≤k≤n，都有a_k=a_k-1，，
于是a₁=a₂=…=a_n，所以
若，则，
所以，
所以b_n＞b_n+1，这与n是满足b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n（n≥2）的最大整数相矛盾，
因此n是满足的最小整数．，命题获证
分析：（Ⅰ）因为，所以a₂=a₁=-3 依此类推按照（2）的规则要求，判断条件，代入计算．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的具体求项，应得到一般的有，不难证得数列{b_n-a_n}是一个等比数列；
（Ⅲ）先确定必有 进而，n是满足的最小整数． 将此式转化求证．
点评：本题考查等比数列的判定、不等式的证明．要求具有阅读能力、分析解决问题、计算、分类讨论的意识和能力．属于难题．