Question

在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是

 

（写出所有正确命题的编号）．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④如果k与b都是有理数，则直线y=kx+b经过无穷多个整点；
⑤存在恰经过一个整点的直线．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：①举一例子即可说明本命题是真命题；
②举一反例即可说明本命题是假命题；
③假设直线l过两个不同的整点，设直线l为y=kx，把两整点的坐标代入直线l的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l上，利用同样的方法，得到直线l经过无穷多个整点，得到本命题为真命题；
④根据③为真命题，把直线l的解析式y=kx上下平移即不能得到y=kx+b，所以本命题为假命题；
⑤举一例子即可得到本命题为真命题．

解答： 解：①令y=x+

1

2

，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；
②若k=

2

，b=

2

，则直线y=

2

x+

2

经过（-1，0），所以本命题错误；
设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把两点代入直线l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
两式相减得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
则（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直线y=kx上且为整点，
通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，
又通过上下平移得到y=kx+b不一定成立．则③正确，④不正确；
⑤令直线y=

2

x恰经过整点（0，0），所以本命题正确．
综上，命题正确的序号有：①③⑤．
故答案为：①③⑤

点评：此题考查学生会利用举反例的方法说明一个命题为假命题，要说明一个命题是真命题必须经过严格的说理证明，以及考查学生对题中新定义的理解能力，是一道中档题．