Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n，数列{b_n}满足b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-1b_n=a_n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解（1）n=1，a₁=2，
n≥2，a_n=S_n-S_n-1=2n
∴a_n=2n （n∈N^*） …（4分）
b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-1b_n=a_n，n∈N^*．
b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-2b_n-1=a_n-1，n≥2．
两式作差：3^n-1b_n=a_n-a_n-1=2
∴ n≥2，
又∵b₁=2
∴ n∈N^*． …（10分）
（2）数列{b_n}是首项为2，公比为的等比数列，
所以T_n==3- …（13分）
分析：（1）通过数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n，求出首项，a_n=S_n-S_n-1，求数列{a_n}的通项公式，通过错位相减法求解{b_n}的通项公式；
（2）通过数列{b_n}的通项公式，判断数列是等比数列，直接求数列{b_n}的前n项和T_n．
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，数列通项公式的求法，求和的方法，考查分析问题解决问题能力．