Question

已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x-b|的最小值为2，则a²+b²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由条件利用绝对值的意义可得b+a=2，利用基本不等式求得ab≤1，再根据a²+b² =（a+b）²-2ab=4-2ab求得a²+b²的最小值．

解答： 解：∵a＞0，b＞0，∴f（x）=|x+a|+|x-b|≥|x+a-（x-b）|=a+b=2，
由基本不等式可得2=a+b≥2

ab

，∴ab≤1，当且仅当a=b时，等号成立．
a²+b² =（a+b）²-2ab=4-2ab≥2²-2=2，
故答案为：2．

点评：本题主要考查绝对值的几何意义，基本不等式的应用，属于中档题．