Question

1．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=$2\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$），P为曲线C上的动点，定点Q（1，$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）将曲线C的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
（Ⅱ）求P、Q两点的最短距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用两角差的正弦公式和极坐标与直角坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，化简即可得到所求方程及轨迹；
（Ⅱ）求得Q的直角坐标，以及Q到圆心的距离，由最小值d-r，即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C：ρ=$2\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ）
=2sinθ-2cosθ，
即有ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得曲线C：x²+y²+2x-2y=0，
即为以（-1，1）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆；
（Ⅱ）Q（1，$\frac{π}{4}$），即为Q（cos$\frac{π}{4}$，sin$\frac{π}{4}$），
即Q（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
Q到圆心的距离为d=$\sqrt{（-1-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有PQ的最短距离为d-r=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查极坐标和直角坐标的互化，点与圆的位置关系，注意运用两点的距离公式，考查运算能力，属于基础题．