Question

已知数列{a_n}的首项为2，点（a_n，a_n+1）在函数x-y+2=0的图象上
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项之和为S_n，求

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

的值．

Answer 1

分析：（I）由点（an ，a_n+1）在函数y=x+2的图象上，知a_n+1=a_n+2．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=

(2n+2)n

2

=n（n+1）．所以

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

的值．

解答：（本题满分10分）
解：（I）∵点（an ，a_n+1）在函数y=x+2的图象上，∴a_n+1=a_n+2．（2分）
∴数列{a_n}是以首项为2公差为2的等差数列，（3分）
∴a_n=2+2（n-1）=2n．（4分）
（Ⅱ）∵数列{a_n}是以首项为2公差为2的等差数列，
∴S_n=

(2n+2)n

2

=n（n+1）．（5分）
∴

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，（7分）
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）（8分）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．（10分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．