Question

函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称的充要条件是f（a-x）+f（a+x）=2b（或f（x）+f（2a-x）=2b．如果函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称，则称（a，b）为“中心点”，称函数y=f（x）为“中心函数”．
①已知f（x）是定义在R上的增函数，点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，若不等式f（m²-5m+21）+f（m²-8m）＜0恒成立，则3＜m＜3.5．
②若函数y=f（x）为R上的“中心函数”，则y=

1

f(x)

为R上的“中心函数”．
③函数y=f（x）在R上的中心点为（a，f（a）），则F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数．
④已知函数f（x）=2x-cosx为“中心函数”，数列{a_n}是公差为

π

8

的等差数列．若

7

n=1

f（a_n）=7π，则

[f(a4)]

a1a7

=

64

5

．
其中你认为是正确的所有命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,新定义

分析：①根据题意判断出f（x）为奇函数，且为增函数对原不等式变形后利用单调性求得m的范围．
②先假设结论成立并设出对称点来，把对称点代入求得结论不成立．
③利用定义法判断出函数的奇偶性．
④根据已知条件表达出若

7

n=1

f（a_n）=7π，利用等差中项的性质和两角和公式对其化简可求得a₄，进而利用等差数列的性质求出a₁和a₇，分别代入判断结论是否正确．

解答： 解：①函数y=f（x）的图象由函数y=f（x-1）向左平移1个单位获得，且点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，
∴（0，0）点为函数y=f（x）的中心点，即关于原点对称，
∴函数y=f（x）为奇函数，
∵f（m²-5m+21）+f（m²-8m）＜0
∴f（m²-5m+21）＜-f（m²-8m）
∴f（m²-5m+21）＜f（-m²+8m）
∵f（x）是定义在R上的增函数，
∴m²-5m+21＜-m²+8m，即2m²-13m+21＜0，求得3＜m＜3.5
∴命题①正确．
②假设命题成立，设函数y=f（x）的对称点为（a，b），则

1

f(a-x)

+

1

f(a+x)

=

f(a-x)+f(a+x)

f(a-x)•f(a+x)

=

2b

f(a-x)•f(a+x)

=2b不恒成立，
故假设不成立，命题②不正确．
③∵函数y=f（x）在R上的中心点为（a，f（a）），
∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a）
∴f（a-x）=2f（a）-f（a+x）
∴F（-x）=f（-x+a）-f（a）=2f（a）-f（a+x）-f（a）=-（f（x+a）-f（a））=-F（x）
∴F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数．
命题③正确．
④∵

7

n=1

f（a_n）=7π，数列{a_n}是公差为

π

8

的等差数列
∴f（a₇）=2（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇）-（cosa₁+cosa₂+cosa₃+cosa₄+cosa₅+cosa₆+cosa₇）
=14a₄-[cos（a₄-

3π

8

）+cos（a₄+

3π

8

）+cosa₂+cosa₃+cosa₄+cosa₅+cosa₆]
=14a₄-[2cosa₄cos

3π

4

+cosa₂+cosa₃+cosa₄+cosa₅+cosa₆]
=14a₄+（3

2

+1）cosa₄=7π
∴a₄=

π

2

∴f（a₄）=π，a₁=

π

2

-

3π

8

=

π

8

，a₇=

π

2

+

7π

8

=

3π

8

，
∴则

[f(a4)]

a1a7

=

π

π 8 × 7π 8

=

56

7π

≠

64

5

．
∴命题④不成立．
故正确的命题为①③
故答案为：①③．

点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用，单调性的应用，三角函数的恒等变换的运用以及等差数列的基本性质．综合性较强，要求学生等综合运用基础知识解决问题的能力．