Question

如图在直三棱柱ABC A₁B₁C₁中，∠BAC = 90°，AB = AC = a，AA₁ = 2a，D为BC的中点，E为CC₁上的点，且CE = CC₁

   （I）求三棱锥B AB₁D的体积；

   （II）求证：BE⊥平面ADB₁；

 （Ⅲ）求二面角B―AB₁―D的大小.

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）∵AB=AC=a，∠BAC=90°，D为BC中点

B₁B=C₁C=A₁A=2a，

∴  ………………2分

∵ …………4分

解法一：

（Ⅱ）由AB=AC，D是BC的中点，得AD⊥BC

从而AD⊥平面B₁BCC₁

又BE平面B₁BCC₁，所在AD⊥BE …………6分

由已知∠BAC=90°，AB=AC=a，得

在Rt△BB₁D中，

在Rt△CBE中，

于是∠BB₁D=∠CBE，设EB∩DB₁=G

∠BB₁D+∠B₁BG=∠CBE+∠B₁BG=90°，则DB₁⊥BE，又AD∩DB₁=D

故BE⊥平面ADB₁   ……………………8分

（Ⅲ）过点G作GF⊥AB₁于F，连接BF

由（Ⅰ）及三垂线定理可知∠BFG是二面角B―AB_­1―D的平面角   …………10分

在Rt△ABB₁中，由BF?AB₁=BB₁?AB，得

在Rt△BDB₁中，由BB₁?BD=BG?DB₁，得BG=

所以在Rt△BFG中，

故二面角B―AB―D的大小为arcsin  ………………12分

解法二：

解法：（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A－xyz  …………2分

可知A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，a，0），D（），

B₁（a，0，2a），E（0，a，） …………4分

可得

  ………………6分

于是得，

可知BE⊥AD，BE⊥DB₁

又AD∩DB₁=D，故BE⊥平面ADB₁  …………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ADB₁的法向量，平面ABB₁的法向量

于是   …………10分

故二面角B―AB₁―D的大小为arccos   ………………12分