【题目】已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线斜率为1,求函数
在
上的最值;
(2)令,若
时,
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当且
时,证明
.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)
; (Ⅲ)证明过程见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据曲线在点
处的切线斜率为1,可求出参数
的值,再对导函数
在
的正负,求出
在
上单调性,即可求出
的最值;(Ⅱ)由
,构造辅助函数
,再对
进行求导,讨论
的取值范围,利用函数单调性判断函数的最值,进而确定
的取值范围;(Ⅲ)构造辅助函数
,求导
,求出在
的单调性,可求出
的最小值,即可证明不等式成立.
试题解析:(Ⅰ)∵,∴
,∴
,
∴,记
,∴
,令
得
.
当时,
单减;当
时,
单增,
∴,
故恒成立,所以
在
上单调递增,
∴.
(Ⅱ)∵,∴
.
令,∴
,
当时,
,∴
在
上单增,∴
.
(i)当即
时,
恒成立,即
,∴
在
上单增,
∴,所以
.
(ii)当即
时,∵
在
上单增,且
,
当时,
,
∴,使
,即
.
当时,
,即
单减;
当时,
,即
单增.
∴,
∴,由
,∴
,记
,
∴,∴
在
上单调递增,
∴,∴
,
综上, .
(Ⅲ)等价于
,
即.
∵,∴等价于
.
令,
则.
∵,∴
.
当时,
,
单减;
当时,
,
单增.
∴在
处有极小值,即最小值,
∴,
∴且
时,不等式
成立.
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求直方图中a的值;
(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(Ⅲ)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
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【题目】已知关于x的不等式x2﹣ax﹣2>0的解集为{x|x<﹣1或x>b}(b>﹣1).
(1)求a,b的值;
(2)当m>﹣ 时,解关于x的不等式(mx+a)(x﹣b)>0.
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【题目】为方便市民休闲观光,市政府计划在半径为200米,圆心角为120°的扇形广场内(如图所示),沿△ABC边界修建观光道路,其中A、B分别在线段CP、CQ上,且A、B两点间距离为定长 米.
(1)当∠BAC=45°时,求观光道BC段的长度;
(2)为提高观光效果,应尽量增加观光道路总长度,试确定图中A、B两点的位置,使观光道路总长度达到最长?并求出总长度的最大值.
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【题目】已知椭圆 ()的焦距为4,左、右焦点分别为
,且
与抛物线
:
的交点所在的直线经过
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过
的直线
与
交于
两点,与抛物线
无公共点,求
的面积的取值范围.
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【题目】已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)+g(x)=2log2(1﹣x).
(1)求f(x)及g(x)的解析式;
(2)求g(x)的值域.
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【题目】已知点P是曲线C: ﹣y2=1上的任意一点,直线l:x=2与双曲线C的渐近线交于A,B两点,若
=λ
+μ
,(λ,μ∈R,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( )
A.λ2+μ2≥
B.λ2+μ2≥2
C.λ2+μ2≤
D.λ2+μ2≤2
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