Question

（本小题满分14分）已知定义在正实数集上的函数f（x）＝＋ax，g（x）＝4a2lnx＋b，其中a＞0，设两曲线y＝f（x）与y＝g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同.

（1）若a＝1，求两曲线y＝f（x）与y＝g（x）在公共点处的切线方程；

（2）用a表示b，并求b的最大值.

 

Answer 1

（1）8x－2y－3＝0；（2）b＝－4a2lna，最大值为.

【解析】

试题分析：（1）在公共点处切线相同，包含两层意思，一是两曲线都经过公共点，二是在该点处切线的斜率（导数值）相同，结合a＝1可求出切线方程；（2）同（1）即可得到a与b的关系式，将b写成a的函数，利用导函数判断单调性，进而求最值.

试题解析：（1）当a＝1时，f（x）＝＋x，g（x）＝4lnx＋b（x＞0）

f '（x）＝3x＋1，g'（x）＝

设曲线y＝f（x）与y＝g（x）在公共点（x0，y0）处的切线相同，

则有

即

解得x0＝1，b＝（其中x0＝－舍去）

∴公共点为（1，）

公共点处的切线方程为y－＝4（x－1）

即8x－2y－3＝0

（2）f '（x）＝3x＋a，g'（x）＝，设在点（x0，y0）处的切线相同，

则有

即

由②得3x02＋ax0－4a2＝0

即（x0—a）（3x0＋4a）＝0

得x0＝a，或x0＝－（舍去）

于是b＝＋a2－4a2lna＝－4a2lna

令h（t）＝－4t2lnt（t＞0）

则h'（t）＝5t－8tlnt－4t＝t（1－8lnt）

于是当t（1－8lnt）＞0，即0＜t＜时，h'（t）＞0

故h（t）在（0，）上递增

当t（1－8lnt）＜0，即t＞时，h'（t）＜0

故h（t）在（，＋∞）上递减

所以，h（t）在t＝处取得最大值

所以，当a＝时，b取得最大值.

考点：导数的几何意义，利用导数研究函数性质，函数的最值