Question

已知函数f(x)=cos2x-sin2x+2

3

sinxcosx+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调减区间；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换可将f（x）转化为：f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，从而可求f（x）的最小正周期及单调减区间；
（Ⅱ）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，利用正弦函数的单调性与最值可求2sin（2x+

π

6

）+1∈[0，3]，从而可得f（x）的最大值和最小值．

解答：（Ⅰ）解：f（x）=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx+1
=

3

sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1．…（4分）
因此f（x）的最小正周期为π．
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
故f（x）的单调递减区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z．…（8分）
（Ⅱ）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，2sin（2x+

π

6

）+1∈[0，3]，
∴f（x）的最大值为3，最小值为0．…（13分）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，熟练应用辅助角公式是关键，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．