Question

7．已知椭圆x²+2y²=8的两个焦点分别为F₁，F₂，A为椭圆上的任意一点，AP是∠F₁AF₂的外角平分线，且$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{{F_2}P}=0$，则点P的坐标一定满足（　　）

• A． x²+y²=8
• B． x²+y²=1
• C． x²-y²=1
• D． $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 求出椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，F₁（-2，0），F₂（2，0），可设A（0，2），P（x，y），由已知条件求出x=y=2．从而得到点P的坐标一定满足x²+y²=8．

解答 解：∵椭圆x²+2y²=8的两个焦点分别为F₁，F₂，A为椭圆上的任意一点，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，F₁（-2，0），F₂（2，0），
可设A（0，2），P（x，y），则$\overrightarrow{AP}$=（x，y-2），$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=（2，-2），$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=（2，2），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（x-2，y），
∵AP是∠F₁AF₂的外角平分线，且$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{{F_2}P}=0$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（x，y-2）•（x-2，y）=x²-2x+y²-2y=0，①
cos＜$\overrightarrow{A{F}_{2}}，\overrightarrow{AP}$＞=cos＜$\overrightarrow{{F}_{1}A}$，$\overrightarrow{AP}$＞，即$\frac{2x-2y+4}{2\sqrt{2}•\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}}$=$\frac{2x+2y-4}{2\sqrt{2}•\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}}$，②
①②联立，解得x=y=2．
∴点P的坐标一定满足x²+y²=8．
故选：A．

点评 本题考查点的坐标满足的方程的确定的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线的性质的合理运用，注意特殊值法在选择题中的合理运用．