Question

14．已知函数f（x）=lnx+$\frac{ax}{x+1}$（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，4）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=2x相切，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，由题意可得f′（x）≥对任意x∈（1，4）恒成立，分离参数a，可得-a≤$\frac{（x+1）^{2}}{x}$，利用导数求出函数g（x）=$\frac{（x+1）^{2}}{x}$在（1，4）上的最小值得答案；
（2）设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，可得切线斜率，再由两函数在切点处的函数值相等求得a的值．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx+$\frac{ax}{x+1}$，
则f′（x）=$\frac{1}{x}+\frac{a}{（x+1）^{2}}$，
∵函数f（x）在区间（1，4）上单调递增，
∴$\frac{1}{x}+\frac{a}{（x+1）^{2}}$≥0在x∈（1，4）上恒成立．
即-a≤$\frac{（x+1）^{2}}{x}$在x∈（1，4）上恒成立．
令g（x）=$\frac{（x+1）^{2}}{x}$，则g′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$．
当x∈（1，3）时，g′（x）＞0，当x∈（3，4）时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（1，3）上为增函数，在（3，4）上为减函数，
∴g（x）_min=g（1）=4．
则a≥-4；
（2）设切点坐标为（x₀，y₀），则f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$+$\frac{a}{（{x}_{0}+1）^{2}}$，
则$\frac{1}{{x}_{0}}$+$\frac{a}{（{x}_{0}+1）^{2}}$=2
f（x₀）=lnx₀+$\frac{a{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$=2x₀，②
联立①，②解得：x₀=1，a=4．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了恒成立问题的求解方法，考查计算能力，属中档题．