Question

4．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＜2成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，可得x=1处切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；
（Ⅲ）由题意可得ax+lnx＜2，即为a＜$\frac{2-lnx}{x}$的最小值，令g（x）=$\frac{2-lnx}{x}$，求出导数和单调区间，可得极小值也为最小值，即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）若a=2，则f（x）=2x+lnx的导数为f′（x）=2+$\frac{1}{x}$，
可得曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为3，
切点为（1，2），可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-2=3（x-1），
即为3x-y-1=0；
（Ⅱ）函数f（x）=ax+lnx的导数为f′（x）=a+$\frac{1}{x}$=$\frac{ax+1}{x}$，x＞0．
当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；
当a＜0时，由f′（x）＜0，可得x＞-$\frac{1}{a}$；由f′（x）＞0，可得0＜x＜-$\frac{1}{a}$．
综上可得，当a≥0时，f（x）有增区间（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）的增区间为（0，-$\frac{1}{a}$），减区间为（-$\frac{1}{a}$，+∞）；
（Ⅲ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＜2成立，
即有ax+lnx＜2，即为a＜$\frac{2-lnx}{x}$的最小值，
令g（x）=$\frac{2-lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{lnx-3}{{x}^{2}}$，
当x＞e³时，g′（x）＞0，g（x）递增；当0＜x＜e³时，g′（x）＜0，g（x）递减．
可得g（x）在x=e³处取得极小值，且为最小值-$\frac{1}{{e}^{3}}$．
可得a＜-$\frac{1}{{e}^{3}}$．
则实数a的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{{e}^{3}}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查分类讨论的思想方法和运算能力，属于中档题．