Question

11．若函数f（x）=cos2x+asinx在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最小值大于零，则a的取值范围是（1，+∞）．

Answer 1

分析 将函数化简只有一个函数名，转化为二次函数问题，利用三角函数的有界限，求解即可．

解答 解：函数f（x）=cos2x+asinx
化简可得：f（x）=1-2sin²x+asinx
∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上，
∴sinx∈[$\frac{1}{2}$，1]，
令sinx=t，（$\frac{1}{2}≤t≤1$）
函数f（x）转化为g（t）=-2t²+at+1，（$\frac{1}{2}≤t≤1$）上的最小值大于零．
其对称轴t=$\frac{a}{4}$，
当$\frac{a}{4}≥\frac{3}{4}$时，即a≥3，g（$\frac{1}{2}$）最小值为$\frac{1}{2}+\frac{a}{2}$．
由题意：$\frac{a}{2}+\frac{1}{2}＞0$，可得：a＞-1，
∴a≥3．
当$\frac{a}{4}≤\frac{3}{4}$时，即a≤3，g（1）最小值为a-1．
由题意：a-1＞0，可得：1＜a
∴3≥a＞1．
综上可得a的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查了三角函数与二次函数的结合，利用二次函数的性质，讨论在其范围内的最值问题．属于难题．