Question

19．已知函数f（x）=e^x-x²+a，x∈R，曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=bx．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈R时，求证：f（x）≥-x²+x；
（3）若f（x）≥kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用图象在点x=0处的切线为y=bx，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；
（2）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，确定函数的单调性，可得φ（x）_min=φ（0）=0，即可证明：f（x）≥-x²+x；
（3）f（x）≥kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立?$\frac{f（x）}{x}$≥k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，k≤g（x）_min=g（1）=0，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=e^x-x²+a，f'（x）=e^x-2x．
由已知 $\left\{\begin{array}{l}{f（0）=1+a=0}\\{f′（0）=1=b}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，f（x）=e^x-x²-1．…（4分）
（2）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，φ'（x）=e^x-1，由φ'（x）=0，得x=0，
当x∈（-∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．
∴φ（x）_min=φ（0）=0，从而f（x）≥-x²+x．…（8分）
（3）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立
?$\frac{f（x）}{x}$≥k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，x＞0，
∴g′（x）=$\frac{（x-1）{（e}^{x}-x-1）}{{x}^{2}}$，
由（2）可知当x∈（0，+∞）时，e^x-x-1＞0恒成立，…（10分）
令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．
∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g（x）_min=g（1）=0．
∴k≤g（x）_min=g（1）=e-2，∴实数k的取值范围为（-∞，e-2]．…（14分）

点评 此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了函数的单调性，属于中档题．