Question

14．已知双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），过左焦点F₁作斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段F₁P，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}$+1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求过焦点F₁（-c，0）的直线l的方程，进而可得P的坐标，代入双曲线方程，结合几何量之间的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，过焦点F₁（-c，0）的直线l的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c），
∵直线l交双曲线右支于点P，且y轴平分线段F₁P，
∴直l交y轴于点Q（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$c）．
设点P的坐标为（x，y），则x+c=2c，y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，∴P点坐标（c，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c），
代入双曲线方程得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{（\frac{2\sqrt{3}}{3}c）^{2}}{{b}^{2}}$=1
又∵c²=a²+b²，∴c²=3a²，∴c=$\sqrt{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$
故选：A．

点评 本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．