Question

11．在圆x²+y²=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P在圆上运动时，动点M满足$\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{MQ}$，动点M形成的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k₁，直线AD斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y），根据P在圆上求得M点轨迹方程．
（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率公式，即可证明结论．

解答 解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y）
因为P在圆O：x²+y²=4，所以x²+4y²=4
故所求动点M的轨迹方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）方法一：由题意知直线l斜率不为0，设直线l方程为x=my+1，B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ x=my+1\end{array}\right.$消去x，得（m²+4）y²+2my-3=0，
易知△=16m²+48＞0，得${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{-3}{{{m^2}+4}}$…（8分）${k_1}{k_2}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（{x_1}-2）（{x_2}-2）}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（m{y_1}-1）（m{y_2}-1）}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{m^2}{y_1}{y_2}-m（{y_1}+{y_2}）+1}}$=$\frac{-3}{{-3{m^2}+2{m^2}+{m^2}+4}}=-\frac{3}{4}$．所以${k_1}{k_2}=-\frac{3}{4}$为定值…（12分）
方法二：（ⅰ）当直线l斜率不存在时，$B（1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）\;，\;D（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$
所以${k_1}{k_2}=\frac{{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{1-2}•\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{1-2}=-\frac{3}{4}$…（6分）
（ⅱ）当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=k（x-1），B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$消去y，得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
易知△=48k²+16＞0，${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$…（8分）${k_1}{k_2}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（{x_1}-2）（{x_2}-2）}}=\frac{{{k^2}（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}{{（{x_1}-2）（{x_2}-2）}}=\frac{{{k^2}[{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}]}}{{{x_1}{x_2}-2（{x_1}+{x_2}）+4}}$=$\frac{{{k^2}（4{k^2}-4-8{k^2}+1+4{k^2}）}}{{4{k^2}-4-16{k^2}+4+16{k^2}}}=-\frac{3}{4}$．
所以${k_1}{k_2}=-\frac{3}{4}$为定值…（12分）

点评 本题主要考查轨迹方程的求解和直线与圆锥曲线的综合问题，属于难度较大的题，高考经常涉及．