Question

20．已知函数f（x）=lnx-ax（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）如果f（x）≤0，在（0，4]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，分别计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）问题转化为a≥$\frac{lnx}{x}$在（0，4]恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=lnx-x，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
故f（1）=-1，f′（1）=0，
故切线方程是：y+1=0，即y=-1；
（ II）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，（x＞0）
①当a≤0时，由于x＞0，得：1-ax＞0，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
②当a＞0时，f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$，
在区间（0，$\frac{1}{a}$）上，f′（x）＞0，
在区间（$\frac{1}{a}$，+∞）上，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{1}{a}$），
单调递减区间为（$\frac{1}{a}$，+∞）；                     
（ III）如果f（x）≤0在（0，4]上恒成立，
即a≥$\frac{lnx}{x}$在（0，4]恒成立，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，x∈（0，4]，
h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜e，
令h′（x）＜0，解得：e＜x≤4，
故h（x）在（0，e）递增，在（e，4]递减，
故h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{e}$，
故a≥$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．