Question

10．已知{a_n}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a₅≠$\frac{kπ}{2}$（k∈Z），sin²a₃+2sina₅•cosa₅=sin²a₇，函数f（x）=dsin（wx+4d）（w＞0）满足：在$x∈（0，\frac{3π}{4}）$上单调且存在${x_0}∈（0，\frac{3π}{4}），f（x）+f（2{x_0}-x）=0$，则w范围是0＜w≤$\frac{4}{3}$．．

Answer 1

分析 推导出sin4d=1，由此能求出d，可得函数解析式，利用在$x∈（0，\frac{3π}{4}）$上单调且存在${x_0}∈（0，\frac{3π}{4}），f（x）+f（2{x_0}-x）=0$，即可得出结论．

解答 解：∵{a_n}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a₅≠$\frac{kπ}{2}$（k∈Z），
sin²a₃+2sina₅•cosa₅=sin²a₇，
∴2sina₅cosa₅=sin²a₇-sin²a₃=2sin$\frac{{a}_{3}+{a}_{7}}{2}$cos$\frac{{a}_{7}-{a}_{3}}{2}$•2cos$\frac{{a}_{3}+{a}_{7}}{2}$sin$\frac{{a}_{7}-{a}_{3}}{2}$=2sina₅cos2d•2cosa₅sin2d，
∴sin4d=1，
∴d=$\frac{π}{8}$．
∴f（x）=$\frac{π}{8}$coswx，
∵在$x∈（0，\frac{3π}{4}）$上单调且存在${x_0}∈（0，\frac{3π}{4}），f（x）+f（2{x_0}-x）=0$，
∴$\frac{π}{w}≥\frac{3π}{4}$，
∴0＜w≤$\frac{4}{3}$．
故答案为0＜w≤$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，是中档题．