Question

19．已知$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$为两个非零向量，且|$\overrightarrow{m}$|=2，|$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{n}$|=2，则|$\overrightarrow{n}$|+|2$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|的最大值为（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． $\frac{7\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{n}$|=2，得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+|\overrightarrow{n}{|}^{2}=0$，再求出|$2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$|，然后利用换元法以及函数的求导化简计算即可得答案．

解答 解：由|$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{n}$|=2，得$（\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{n}）^{2}=4$，即$|\overrightarrow{m}{|}^{2}+4\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+4|\overrightarrow{n}{|}^{2}=4$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+|\overrightarrow{n}{|}^{2}=0$，
|$2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）^{2}}=\sqrt{4|\overrightarrow{m}{|}^{2}+4\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+|\overrightarrow{n}{|}^{2}}$=$\sqrt{16-3|\overrightarrow{n}{|}^{2}}$．
则|$\overrightarrow{n}$|+|2$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{16-3|\overrightarrow{n}{|}^{2}}+|\overrightarrow{n}|$．
令f（x）=$\sqrt{16-3{x}^{2}}+x$，
则f′（x）=$\frac{1}{2}•$$\frac{-6x}{\sqrt{16-3{x}^{2}}}+1$（0≤x＜$\frac{4}{\sqrt{3}}$），
由f′（x）=0，得x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$．
∴当x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$时，f（x）有最大值为$\sqrt{16-3×（\frac{2}{\sqrt{3}}）^{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了向量的模的求法，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数研究函数的极值，是中档题．