Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{b}$=（4cosα，-4sinα），且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则θ等于$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根据平面向量的数量积运算与夹角公式，即可求出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$夹角的大小．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{b}$=（4cosα，-4sinα），
∴|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（4cosα）}^{2}{+（-4sinα）}^{2}}$=4，
又$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4；
设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则θ∈[0，π]，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{4}{2×4}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了平面向量数量积运算与夹角公式的应用问题，是基础题目．