Question

4．已知数列{a_n}为等比数列，且a₂=2，a₅=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=a_n•log₂a_n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a₅=a₂q³计算可知公比q=2，进而计算可得结论；
（2）通过a_n=2^n-1可知b_n=n•2^n-1，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a₅=a₂q³，
∴q³=$\frac{a5}{a3}$=8，即公比q=2，
又∵a₂=a₁q，∴a₁=1，
∴a_n=2^n-1；
（2）∵a_n=2^n-1，
∴b_n=a_n•log₂a_n+1=n•2^n-1，
∴T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，
2T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
两式相减得：-T_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-2n}{1-2}$-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2ⁿ
=（1-n）2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）2ⁿ+1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．