Question

直线l：y=mx+1，双曲线C：3x2﹣y2=1，问是否存在m的值，使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．

 

Answer 1

存在m=1或m=﹣1使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．

【解析】

试题分析：假设存在m值满足条件，设A、B坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），联立直线方程与双曲线方程，消掉y后得x的二次方程，有△＞0，由以AB为直径的圆过原点得OA⊥OB，即，从而可转化为关于A、B坐标的关系式，由直线方程可进一步化为x1，x2的式子，将韦达定理代入即可得m的方程，解出m后检验是否满足△＞0即可．

【解析】
假设存在m值满足条件，

设A、B坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），

由得：（3﹣m2）x2﹣2mx﹣2=0，

则3﹣m2≠0，且△=4m2﹣4（3﹣m2）（﹣2）＞0，得m2＜6且m2≠3①，

由韦达定理有：，，

因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，即，即x1x2+y1y2=0，

所以x1x2+（mx1+1）（mx2+1）=0，即（1+m2）x1x2+m（x1+x2）+1=0，

所以（1+m2）+m+1=0，解得m=±1，

故存在m=1或m=﹣1使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．