【题目】如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,E为BC的中点,AA1⊥平面ABCD. (Ⅰ)证明:平面A1AE⊥平面A1DE;
(Ⅱ)若DE=A1E,试求二面角E﹣A1C﹣D的余弦值.
【答案】证明:(Ⅰ)依题意 , ∴△ABE是正三角形,∠AEB=60°,
∵ ,
∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°,∴DE⊥AE,
∵AA1⊥平面ABCD,DE平面ABCD,
∴DE⊥AA1 , ∵AA1∩AE=A,∴DE⊥平面A1AE,
∵DE平面A1DE,∴平面A1AE⊥平面A1DE.
解:(Ⅱ)连接AC,由题可知AC⊥CD,又DE=A1E,故
故以C为原点,CD,CA,CC1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),
D(1,0,0),E(﹣ , ,0),A1(0, ),
故 =(﹣ , ,0), =(0, ), =(1,0,0),
设面EA1C的一个法向量 =(x1 , y1 , z1),则 ,即 ,
令 ,则 =( ),
设平面DA1C的一个法向量 =(a,b,c),
则 ,取b=﹣ ,得 =(0,﹣ , ),
故cos< >= = ,
由图可知二面角E﹣A1C﹣D为钝角,∴二面角E﹣A1C﹣D的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)依题意推导出△ABE是正三角形,DE⊥AE,DE⊥AA1 , 从而DE⊥平面A1AE,由此能证明平面A1AE⊥平面A1DE.(Ⅱ)以C为原点,CD,CA,CC1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角E﹣A1C﹣D的余弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识,掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知向量 =(cosA,sinA), =(cosB,﹣sinB),且| ﹣ |=1.
(1)求角C的度数;
(2)若c=3,求△ABC面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如果函数f(x)是定义在(﹣3,3)上的奇函数,当0<x<3时,函数f(x)的图象如图所示,那么不等式f(x)cosx<0的解集是( )
A.(﹣3,﹣ )∪(0,1)∪( ,3)
B.(﹣ ,﹣1)∪(0,1)∪( ,3)
C.(﹣3,﹣1)∪(0,1)∪(1,3)
D.(﹣3,﹣ )∪(0,1)∪(1,3)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)= (x∈R)时,则下列所有正确命题的序号是 .
①若任意x∈R,则等式f(﹣x)+f(x)=0恒成立;
②存在m∈(0,1),使得方程|f(x)|=m有两个不等实数根;
③任意x1 , x2∈R,若x1≠x2 , 则一定有f(x1)≠f(x2)
④存在k∈(1,+∞),使得函数g(x)=f(x)﹣kx在R上有三个零点.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC= ,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:VB∥平面MOC;
(2)求证:平面MOC⊥平面VAB
(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[﹣1,1],m+n≠0时,有 >0.
(Ⅰ)证明f(x)在[﹣1,1]上是增函数;
(Ⅱ)解不等式f(x2﹣1)+f(3﹣3x)<0
(Ⅲ)若f(x)≤t2﹣2at+1对x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com