Question

18．下列命题正确的是（　　）

• A． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则a＞b是cosA＜cosB的充要条件
• B． 已知$p：\frac{1}{x+1}＞0$，则$?p：\frac{1}{x+1}≤0$
• C． 命题p：对任意的x∈R，x²+x+1＞0，则?p：对任意的x∈R，x²+x+1≤0
• D． 存在实数x∈R，使$sinx+cosx=\frac{π}{2}$成立

Answer 1

分析 选项A因为A、B是三角形的内角，所以A、B∈（0，π），在（0，π）上，y=cosx是减函数．由此知△ABC中，“A＞B”⇒“cosA＜cosB”，即可得答案；
选项B，根据命题的否定求解可知不正确；
选项C，根据命题“对任意的x∈R，x²+x+1＞0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．选项D，sinx+cosx的最大值为$\sqrt{2}$，而$\frac{π}{2}$$＞\sqrt{2}$，从而可得结论．

解答 解：对于A，在△ABC中，a＞b?A＞B?cosA＜cosB，可得a＞b是cosA＜cosB的充要条件，正确．
对于B，p：x＞-1，则?p：x≤-1，而$\frac{1}{1+x}$≤0的解集是x＜-1，不正确；
对于C，命题p：对任意的x∈R，x²+x+1＞0，则?p：存在x∈R，x²+x+1≤0，不正确；
对于D，sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+45°）最大值为$\sqrt{2}$，∵$\frac{π}{2}$$＞\sqrt{2}$，∴不正确．
故选：A．

点评 本题考查充要条件的性质和应用，解题时要注意余弦函数单调性的合理运用，全称命题与特称命题的相互转化．要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．