练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且
    AP
    =
    8
    5
    PQ
    ．
    （1）求椭圆C的离心率；
    （2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：x+
    		3
    y+3=0相切，求椭圆C的方程．
    （1）设Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知
    FA
    =(c，b)，
    AQ
    =(x0，-b)
    ∵
    FA
    ⊥
    AQ
    ，∴cx0-b2=0，x0=
    b2
    c

    设P（x1，y1），
    由
    AP
    =
    8
    5
    PQ
    得x1=
    8b2
    13c
    ，y1=
    5
    13
    b
    因为点P在椭圆上，所以
    (
    8b2
    13c
    )    2
    a2
    +
    (
    5
    13
    b)    2
    b2
    =1
    整理得2b2=3ac，即2（a2-c2）=3ac，2e2+3e-2=0，故椭圆的离心率e=
    1
    2
    ．

    （2）由（1）知2b2=3ac，得
    b2
    c
    =
    3
    2
    a    ，由
    c
    a
    =
    1
    2
    ，得c=
    1
    2
    a
    于是F（-
    1
    2
    a，0）Q(
    3
    2
    a，0)    ，
    △AQF的外接圆圆心为（
    1
    2
    a，0），半径r=
    1
    2
    |FQ|=a
    所以
    |
    1
    2
    a+3|
    2
    =a    ，解得a=2，
    ∴c=1，b=
    		3
    ，
    所求椭圆方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆M：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    经过如下五个点中的三个点：P1(-1，-
    		2
    2
    )    ，P2（0，1），P3(
    1
    2
    ，
    		2
    2
    )    ，P4(1，
    		2
    2
    )    ，P5（1，1）．
    （Ⅰ）求椭圆M的方程；
    （Ⅱ）设点A为椭圆M的左顶点，B，C为椭圆M上不同于点A的两点，若原点在△ABC的外部，且△ABC为直角三角形，求△ABC面积的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率为
    		2
    2
    ，直线l：y=x+2与原点为圆心，以椭圆C的短轴长为直径的圆相切．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过点M（0，2）的直线l1与椭圆C交于G，H两点．设直线l1的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形．如果存在，求出实数m的取值范围，如果不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知F1，F2为椭圆x2+
    y2
    2
    =1    上的两个焦点，A，B是过焦点F1的一条动弦，则△ABF2的面积的最大值为（　　）
    A．
    		2
    2
    		B．
    		2
    		C．1D．2
    		2

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图．已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，F1为椭圆的左焦点且
    AF1
    •
    F1B
    =1．
    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ．连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    曲线y=x2上的点到直线2x+y+4=0的最短距离是（　　）
    A．
    		5
    5
    		B．
    2
    		5
    5
    		C．
    3
    		5
    5
    		D．
    		5

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率为
    		3
    2
    ，两个焦点分别为F1和F2，椭圆C上一点到F1和F2的距离之和为12．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设点B是椭圆C的上顶点，点P，Q是椭圆上；异于点B的两点，且PB⊥QB，求证直线PQ经过y轴上一定点．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知k∈R，当k的取值变化时，关于x，y的方程4kx-4y=4-k2的直线有无数条，这无数条直线形成了一个直线系，记集合M={（x，y）|4kx-4y=4-k2仅有唯一直线}．
    （1）求M中点（x，y）的轨迹方程；
    （2）设P={（x，y）|y=2x+a，a为常数}，任取C∈M，D∈P，如果|CD|的最小值为
    		5
    ，求a的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）d的离心率为
    		2
    2
    ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4（
    		2
    +1    ）．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
    （1）求椭圆和双曲线的标准方程；
    （2）是否存在常熟λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案