Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，两个焦点分别为F₁和F₂，椭圆C上一点到F₁和F₂的距离之和为12．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点B是椭圆C的上顶点，点P，Q是椭圆上；异于点B的两点，且PB⊥QB，求证直线PQ经过y轴上一定点．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的半焦距为c，
则∵椭圆C上一点到F₁和F₂的距离之和为12，离心率为

3

2

，
∴

2a=12 c a = 3 2

，解得

a=6 c=3 3

，
∴b²=a²-c²=9．
∴所求椭圆C的方程为：

x2

36

+

y2

9

=1．…（4分）
（Ⅱ）显然直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+b
联立方程组

y=kx+b x2 36 + y2 9 =1

，消去y整理得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-36=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8kb

4k2+1

，x₁x₂=

4b2-36

4k2+1

．
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=

2b

4k2+1

，y₁y₂=

b2-36k2

4k2+1

…（8分）
∵PB⊥QB，且

BP

=（x₁，y₁-3），

BQ

=（x₂，y₂-3），
∴

BP

•

BQ

=x₁x₂+（y₁-3）（y₂-3）=0，
∴

4b2-36

4k2+1

+

b2-36k2

4k2+1

-3•

2b

4k2+1

+9=0
∴5b²-6b-27=0．
解得b=-

9

5

或b=3（舍去）
∴直线PQ经过y轴上一定点（0，-

9

5

）．…（12分）