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如图,已知F1,F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,且椭圆C的离心率e=
1
2
,F1也是抛物线C1:y2=-4x的焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点F2的直线l交椭圆C于D,E两点,且2
DF2
=
F2E
,点E关于x轴的对称点为G,求直线GD的方程.
(Ⅰ)因为抛物线C1的焦点是F1(-1,0),
c=1
c
a
=
1
2
,得a=2,则b=
3

故椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1
…(4分)
(II)当直线l的斜率不存在时,不符合题意,
故可设直线l:y=k(x-1),设D(x1,y1),E(x2,y2),由于2
DF2
=
F2E
,则:
2(1-x1)=x2-1
-2y1=y2
,得(
1
4
+
k2
3
)x2-
2
3
k2x+
k2
3
-1=0,
则x1+x2=
8k2
3+4k2
,①,x1x2=
4k2-12
3+4k2
,②
将x2=3-2x1代入①②,得:
3-x1=
8k2
3+4k2
,…③3x1-2x
21
=
4k2-12
3+4k2
,…④
由③、④得k=±
5
2

x1=
4k2+9
3+4k2
=
7
4
,x2=3-2x1=-
1
2
,…(10分)
(i)若k=-
5
2
时,y1=-
3
5
8

y2=-
5
2
(-
1
2
-1)=
3
5
4

即G(-
1
2
,-
3
5
4
),D(
7
4
,-
3
5
8
),kGD=
-
3
5
8
+
3
5
4
7
4
+
1
2
=
5
6

直线GD的方程是y+
3
5
4
=
5
6
(x+
1
2
);
(ii)当k=
5
2
时,同理可求直线GD的方程是
y-
3
5
4
=-
5
6
(x+
1
2
);…(12分)
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(1)已知△ABC的顶点A(0,-1),B(0,1),直线AC,直线BC的斜率之积等于m(m0),求顶点C的轨迹方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线.
(2)已知圆M的方程为:(x+1)2+y2=(2a)2(a>0,且a1),定点N(1,0),动点P在圆M上运动,线段PN的垂直平分线与直线MP相交于点Q,求点Q轨迹方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图.已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的长轴为AB,过点B的直线l与x轴垂直,椭圆的离心率e=
3
2
,F1为椭圆的左焦点且
AF1
F1B
=1.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设P是椭圆上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ.连接AQ并延长交直线l于点M,N为MB的中点,判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为
3
2
,两个焦点分别为F1和F2,椭圆C上一点到F1和F2的距离之和为12.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点B是椭圆C的上顶点,点P,Q是椭圆上;异于点B的两点,且PB⊥QB,求证直线PQ经过y轴上一定点.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

过点M(2,0)的直线l与抛物线y2=x交于A,B两点,则
OA
OB
的值为(  )
A.0B.1C.2D.3

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已知k∈R,当k的取值变化时,关于x,y的方程4kx-4y=4-k2的直线有无数条,这无数条直线形成了一个直线系,记集合M={(x,y)|4kx-4y=4-k2仅有唯一直线}.
(1)求M中点(x,y)的轨迹方程;
(2)设P={(x,y)|y=2x+a,a为常数},任取C∈M,D∈P,如果|CD|的最小值为
5
,求a的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知:椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),过点A(-a,0),B(0,b)的直线倾斜角为
π
6
,原点到该直线的距离为
3
2

(1)求椭圆的方程;
(2)斜率大于零的直线过D(-1,0)与椭圆交于E,F两点,若
ED
=2
DF
,求直线EF的方程;
(3)是否存在实数k,直线y=kx+2交椭圆于P,Q两点,以PQ为直径的圆过点D(-1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一个顶点A的坐标是(0,-1),且右焦点Q到直线x-y+2
2
=0的距离为3.
(1)求椭圆方程;
(2)试问是否存在斜率为k(k≠0)的直线l,使l与椭圆M有两个不同的交点B、C,且|AB|=|AC|?若存在,求出k的范围,若不存在,说明理由.

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已知抛物线C的方程为x2=2py(p>0),焦点F为(0,1),点P(x1,y1)是抛物线上的任意一点,过点P作抛物线的切线交抛物线的准线l于点A(s,t).
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若x1∈[1,4],求s的取值范围.
(3)过点A作抛物线C的另一条切线AQ,其中Q(x2,y2)为切点,试问直线PQ是否恒过定点,若是,求出定点;若不是,请说明理由.

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