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已知:椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),过点A(-a,0),B(0,b)的直线倾斜角为
π
6
,原点到该直线的距离为
3
2

(1)求椭圆的方程;
(2)斜率大于零的直线过D(-1,0)与椭圆交于E,F两点,若
ED
=2
DF
,求直线EF的方程;
(3)是否存在实数k,直线y=kx+2交椭圆于P,Q两点,以PQ为直径的圆过点D(-1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
(1)由
b
a
=
3
3
1
2
a•b=
1
2
3
2
a2+b2

a=
3
,b=1,
所以椭圆方程是:
x2
3
+y2=1

(2)设EF:x=my-1(m>0)
代入
x2
3
+y2=1
,得(m2+3)y2-2my-2=0,
设E(x1,y1),F(x2,y2),
ED
=2
DF

得y1=-2y2
y1+y2=-y2=
2m
m2+3
y1y2=-2y22=
-2
m2+3

(-
2m
m2+3
)2=
1
m2+3

∴m=1,m=-1(舍去),
直线EF的方程为:x=y-1即x-y+1=0
(3)将y=kx+2代入
x2
3
+y2=1

得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*)
记P(x1,y1),Q(x2,y2),
∵PQ为直径的圆过D(-1,0),
则PD⊥QD,
即(x1+1,y1)•(x2+1,y2)=(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,
又y1=kx1+2,y2=kx2+2,
(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=
-12k+14
3k2+1
=0

解得k=
7
6

此时(*)方程△>0,
∴存在k=
7
6
,满足题设条件.
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如图,已知F1,F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,且椭圆C的离心率e=
1
2
,F1也是抛物线C1:y2=-4x的焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点F2的直线l交椭圆C于D,E两点,且2
DF2
=
F2E
,点E关于x轴的对称点为G,求直线GD的方程.

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过点P(1,1)作直线与双曲线x2-
y2
2
=1
交于A、B两点,使点P为AB中点,则这样的直线(  )
A.存在一条,且方程为2x-y-1=0
B.存在无数条
C.存在两条,方程为2x±(y+1)=0
D.不存在

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在平面直角坐标系中,N为圆C:(x+1)2+y2=16上的一动点,点D(1,0),点M是DN的中点,点P在线段CN上,且
MP
DN
=0

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(Ⅱ)若曲线E与x轴的交点为A,B,当动点P与A,B不重合时,设直线PA与PB的斜率分别为k1,k2,证明:k1•k2为定值.

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已知抛物线C:y2=2px(p>0)上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2.
(1)试求抛物线C的标准方程;
(2)若直线l与抛物线C相交所得的弦的中点为(2,1),试求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知椭圆
x2
4
+
y2
2
=1
,过程P(1,1)作直线l,与椭圆交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,则直线l的斜率为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在直线y=x-2上是否存在点P,使得经过点P能作出抛物线y=
1
2
x2
的两条互相垂直的切线?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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