Question

已知函数f（x）=x⁴-4x³+ax²+1．
（1）当a=4时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意x∈R，f（x）≥2ax-f'（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）正确求解该函数的导数是解决本题的关键，通过求解函数的临界点，确定出函数的单调区间的分段点，通过导函数的正负确定出函数的增减区间进而确定出函数的极值；
（2）将恒成立问题进行转化与化归是解决本题的关键．通过整体思想转化为二次问题是解决本题的关键．注意分类讨论思想的运用，列出关于字母a的不等式达到求解本题的目的．

解答：解：（1）当a=4时，令f′（x）=4x³-12x²+8x=0，得x=0或x=1或x=2，
∴由f′（x）＞0得出f（x）的单调增区间为（0，1），（2，+∞）；由f′（x）＜0得出f（x）的单调减区间为（-∞，0），（1，2）．
因此f（x）_极大=f（1）=2，f（x）_极小=f（0）=1，f（x）_极小=f（2）=1．
（2）由f（x）≥2ax-f'（x）恒成立，得x⁴-4x³+ax²+1≥2ax-（4x³-12x²+2ax），
即x⁴+（a-12）x²+1≥0恒成立，∴

12-a 2 ≤0 04+(a-12)•02+1≥0

或

12-a 2 ＞0 △=(a-12)2-4≤0

，
解得a≥10．故a的取值范围为[10，+∞）．

点评：本题考查多项式函数导数的求解，考查导数作为工具求解函数的极值和最值问题，考查学生的运算能力、转化与化归的思想和方法，考查学生分析问题解决问题的能力和意识．