Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\overrightarrow{m}$=（sinC，sinBcosA），$\overrightarrow{n}$=（b，2c），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0
（1）求A；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据向量的运算得出bsinC+2csinBcosA=0，利用正弦定理边角转化得出sinBsinC+2sinCsinBcosA=0，约分即可得出cosA=-$\frac{1}{2}$，求解角．
（2）利用余弦定理得出cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，求解b，利用三角形的面积公式得出即可．

解答 解：（1）∵知$\overrightarrow{m}$=（sinC，sinBcosA），$\overrightarrow{n}$=（b，2c），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0
∴bsinC+2csinBcosA=0，①
根据正弦定理得出：b=2RsinB，=2RsinC，代入上式①得出：
sinBsinC+2sinCsinBcosA=0，
1+2cosA=0，
cosA=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜180°
∴A=120°
（2）∵a=2$\sqrt{3}$，c=2，
∴根据余弦定理得出cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
即b²+2b-8=0
b=2，b=-4（舍去），
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$

点评 本题利用向量考察了三角形的问题，利用正弦定理，余弦定理得出三角形的角，边，考察了学生的运算能力，属于中档题．