Question

已知函数f（x）=x²+alnx．
（I）当a=-2时，求函数f（x）的极值；
（II）若g（x）=f（x）+

2

x

在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=-2时，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

当x变化时，f′（x），f（x）的值变化情况如下表

由上表可知，函数f（x）单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）
极小值是f（1）=1，没有极大值
（2）由g(x)=x2+alnx+

2

x

得g′(x)=2x+

a

x

-

2

x2

因为g（x）在[1，+∞）上是单调增函数
所以g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即不等式2x+

a

x

-

2

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立即a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立
令∅(x)=

2

x

-2x2则∅′(x)=-

2

x2

-4x当x∈[1，+∞）时，∅′(x)=-

2

x2

-4x＜0
∴∅(x)=

2

x

-2x2在[1，+∞）上为减函数
∅（x）的最大值为∅（1）=0
∴a≥0
故a的取值范围为[0，+∞）