Question

16．已知函数f（x）=ax³-2x-lnx，a∈R
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=b，求a+b的值；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）零点的个数；
（3）若不等式|f（x）+2（x+a）|≥1对任意x∈（0，1]都成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1，再由切点可得b=-1，进而得到a+b的值；
（2）求出导数，求得单调区间和极值，可得最值，进而判断零点的个数；
（3）令g（x）=f（x）+2（x+a）=ax³-lnx+2a，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值，利用最小值大于等于1，即可确定实数a取值范围．

解答 解：（1）f（x）=ax³-2x-lnx的导数为f′（x）=3ax²-2-$\frac{1}{x}$，
由题意可得在x=1处的切线斜率为3a-3=0，解得a=1；
切点为（1，-1），则b=-1，故a+b=0；
（2）f（x）=x³-2x-lnx的导数为f′（x）=3x²-2-$\frac{1}{x}$
=$\frac{3{x}^{3}-2x-1}{x}$，x＞0，
由3x³-2x-1=3x（x-1）（x+1）+（x-1）=（x-1）（3x²+3x+1），
可得x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=1处取得最小值，且为-1，
则f（x）的零点个数为2；
（3）显然x=1时，有|3a|≥1，解得a≤-$\frac{1}{3}$或a≥$\frac{1}{3}$；
令g（x）=f（x）+2（x+a）=ax³-lnx+2a，g′（x）=3ax²-$\frac{1}{x}$，0＜x≤1，
①当a≤-$\frac{1}{3}$时，对任意x∈（0，1]，g′（x）＜0，g（x）在（0，1]上递减，
g（x）_min=g（1）=3a≤-1，此时g（x）∈[3a，+∞），
|g（x）|的最小值为0，不适合题意．
②当a≥$\frac{1}{3}$时，对任意x∈（0，1]，g′（x）=0，解得x=$\root{3}{\frac{1}{3a}}$，
函数在（0，$\root{3}{\frac{1}{3a}}$）上单调递减，在（$\root{3}{\frac{1}{3a}}$，+∞）上单调递增，
∴|g（x）|的最小值为g（$\root{3}{\frac{1}{3a}}$）=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$ln（3a）+2a≥1，在a≥$\frac{1}{3}$显然成立．
∴实数a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 本题考查导数知识的运用：求切线的斜率和函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．