Question

6．已知实数x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{4x+y-9≥0}\\{x-y-1≤0}\\{y≤3}\end{array}\right.$，若x-ky的最大值是-1，则正数k的值为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{5}{3}$
• C． 3或$\frac{5}{3}$
• D． 3或$\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 作出平面区域，令z=x-ky，则直线y=$\frac{x}{k}$-$\frac{z}{k}$的截距取得最小值时，z取得最大值，将平面区域的临界点代入z=x-ky求出k．

解答 解：作出平面区域如图：

令z=x-ky，则y=$\frac{x}{k}$-$\frac{z}{k}$，所以当z取得最大值时，y=$\frac{x}{k}$-$\frac{z}{k}$的截距最小．
若0＜$\frac{1}{k}$＜1即k＞1时，则当直线y=$\frac{x}{k}$-$\frac{z}{k}$经过B点时截距最小．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{4x+y-9=0}\end{array}\right.$得x=2，y=1．∴2-k=-1，解得k=3．
若$\frac{1}{k}$≥1，即0＜k≤1时，则当直线y=$\frac{x}{k}$-$\frac{z}{k}$经过C点时截距最小．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$得x=4，y=3．∴4-3k=-1，解得k=$\frac{5}{3}$（舍）．
综上，k=3．
故选：A．

点评 本题考查了简单的线性规划，作出平面区域，找到最优解是解题关键，属于基础题．