Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）都在函数f（x）=x+$\frac{{a}_{n}}{2x}$ 的图象上．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，猜想a_n的表达式；
（2）并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由题意可得S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n． 分别令n=1，2，3，即可求出a₁，a₂，a₃的值，并猜想a_n的表达式，
（2）用数学归纳法证明，先证明n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，去证明当n=k+1时等式也成立即可

解答 解（1）：因为点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）都在函数f（x）=x+$\frac{{a}_{n}}{2x}$ 的图象上，
故$\frac{{S}_{n}}{n}$=n+$\frac{{a}_{n}}{2n}$，∴S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n．         
令n=1，得a₁=1+$\frac{1}{2}$a₁，∴a₁=2；
令n=2，得a₁+a₂=4+$\frac{1}{2}$a₂，∴a₂=4；
令n=3，得a₁+a₂+a₃=9+$\frac{1}{2}$a₃，∴a₃=6；
由此猜想：a_n=2n．                
（2）证明：
①当n=1时，由上面的求解知，猜想成立．    
②假设n=k（k≥1）时猜想成立，即：a_k=2k成立，
则当n=k+1时，注意到S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n，
故S_k+1=（k+1）²+$\frac{1}{2}$a_k+1，S_k=k²+$\frac{1}{2}$a_k，
两式相减，得a_k+1=2k+1+$\frac{1}{2}$a_k+1-$\frac{1}{2}$a_k，
∴a_k+1=4k+2-a_k，
由归纳假设得，a_k=2k，
故a_k+1=4k+2-2k=2（k+1）．
这说明n=k+1时，猜想也成立．        
由①②知，对一切n∈N^*，a_n=2n成立．

点评 本题考查了数学归纳法，通过猜想再证明的方法求数列的通项，属于中档题．