Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足，T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1，若对一切n∈N^*不等式4mT_n＞c_n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）当n=1时，a₁=4（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2ⁿ?a_n=2a_n-1+2ⁿ（2分）
，
∴是首项为2，公差为1的等差数列（3分）（5分）
（2）（7分）（9分）
4mT_n＞c_n对一切n∈N^*恒成立，则（11分）
而（13分）
（14分）
分析：（1）利用递推关系可求求数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）可得a_n=（n+1）•2ⁿ，代入可求，，利用裂项求和可得，4mT_n＞c_n对一切n∈N^*恒成立，则的最大值．
点评：本题主要考查了利用递推关系及构造等差数列求数列的通项公式，裂项求数列的和，不等式的恒成立问题的转化求最值，体现了转化思想的应用．