Question

15．已知函数f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2．
（1）当a=-1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）-x-2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出a=-1的f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）令g（x）=0，求得a=$\frac{1-（x-2）lnx}{x}$，令h（x）=$\frac{1-（x-2）lnx}{x}$，求出导数，令t（x）=1-x-2lnx，求出导数，求得单调性，可得h（x）的最大值，当a=1时，g（x）=（x²-2x）•lnx+x²-x，求出g（x）的单调性，由条件，即可得到m的范围．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=（x²-2x）•lnx-x²+2，定义域（0，+∞），
可得f′（x）=（2x-2）•lnx+（x-2）-2x，
即有f（x）在点（1，f（1））处的切线斜为f′（1）=-3，
又f（1）=1，
则f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y-4=0；
（2）令g（x）=f（x）-x-2=0，
则（x²-2x）•lnx+ax²+2=x+2，
即a=$\frac{1-（x-2）lnx}{x}$，
令h（x）=$\frac{1-（x-2）lnx}{x}$，则h′（x）=$\frac{1-x-2lnx}{{x}^{2}}$，
令t（x）=1-x-2lnx，则t′（x）=$\frac{-x-2}{x}$，
由x＞0，可得t′（x）＜0，
可得t（x）在（0，+∞）上是减函数，
又t（1）=h′（1）=0，
可得当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，
即有h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
则h（x）_max=h（1）=1，
即有当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，
当a=1时，g（x）=（x²-2x）•lnx+x²-x，
若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）_max≤m，
则g′（x）=（x-1）（3+2lnx），
令g′（x）=0，得x=1或$x={e^{-\frac{3}{2}}}$，
又e^-2＜x＜e，
可得函数g（x）在（e^-2，${e^{-\frac{3}{2}}}$）上单调递增，
在（${e^{-\frac{3}{2}}}$，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，
又g（${e^{-\frac{3}{2}}}$）=-e^-3+2${e^{-\frac{3}{2}}}$，g（e）=2e²-3e，
由g（${e^{-\frac{3}{2}}}$）=-e^-3+2${e^{-\frac{3}{2}}}$＜2${e^{-\frac{3}{2}}}$＜2e＜2e（${e^{-\frac{3}{2}}}$）=g（e），
可得g（${e^{-\frac{3}{2}}}$）＜g（e），
则m≥2e²-3e，
可得m的取值范围是[2e²-3e，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想的运用，以及函数的单调性的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．