Question

10．过点A（1，t）于曲线y=x³-12x相切的直线有3条，则实数t的取值范围为（-12，-11）．

Answer 1

分析 设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，进行求解即可得到结论．

解答 解：函数的导数f′（x）=3x²-12，
设过点A（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x，x³-12x），
则$\frac{{x}^{3}-12x-t}{x-1}$=3x²-12，
化简得，2x³-3x²+12+t=0，
令g（x）=2x³-3x²+12+t，
则令g′（x）=6x（x-1）=0，
则x=0，x=1．
g（0）=12+t，g（1）=t+11，
又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，
则（t+12）（t+11）＜0，
解得，-12＜t＜-11．
故答案为：（-12，-11）

点评 本题考查了导数的几何意义的应用，求函数的导数，利用导数的几何意义和切线斜率之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．