Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证：直线A₁C₁⊥面BDD₁B₁；
（2）若AA₁=2，求四棱锥D₁-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）根据正方体的性质，得到BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，从而BB₁⊥A₁C₁，结合正方形A₁B₁C₁D₁中B₁D₁⊥A₁C₁，利用线面垂直判定定理即可证出直线A₁C₁⊥面BDD₁B₁；
（2）由AA₁=2算出正方形ABCD的面积为4，由DD₁⊥平面ABCD得到DD₁=2为四棱锥D₁-ABCD的高，由此结合锥体的体积公式即可算出四棱锥D₁-ABCD的体积．

解答：解：（1）BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，且A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，∴BB₁⊥A₁C₁…（2分）
∵四边形A₁B₁C₁D₁为正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁…（4分）
又∵BB₁?平面BDD₁B₁，B₁D₁?平面BDD₁B₁，BB₁∩B₁D₁=B…（6分）
∴直线A₁C₁⊥面BDD₁B₁；…（8分）
（2）∵AA₁=2，可得正方形ABCD的边长等于2，
∴正方形ABCD的面积S=2×2=4…（10分）
∵DD₁⊥平面ABCD，∴DD₁为四棱锥D₁-ABCD的高…（12分）
∴V D1-ABCD=

1

3

×S_ABCD×DD₁=

8

3

，
即四棱锥四棱锥D₁-ABCD的体积为

8

3

．…（14分）

点评：本题在正方体中证明线面垂直，并求锥体的体积．着重考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质和锥体体积的求法等知识，属于中档题．