Question

在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：（a＞0，b＞0）经过点A（，），且点F（0，-1）为其一个焦点．   
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E与y轴的两个交点为A₁，A₂，不在y轴上的动点P在直线y=b²上运动，直线PA₁，PA₂分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且△FMN的周长为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据题意可得解出即可；
（Ⅱ）不妨设A₁（0，2），A₂（0，-2）
P（x，4）为直线y=4上一点（x≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直线PA₁方程为，直线PA₂方程为，分别与椭圆联立即可得到点M，N的坐标．
由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y=4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，
当x=1时，直线MN的方程为，令x=0，得y=1可猜测定点的坐标为（0，1），并记这个定点为B
再证明k_BM=k_BN，即M，B，N三点共线即可．
又F（0，-1），B（0，1）是椭圆E的焦点，利用椭圆的定义即可得出△FMN的周长．
解答：解：（Ⅰ）根据题意可得
可解得
∴椭圆E的方程为…（4分）
（Ⅱ）不妨设A₁（0，2），A₂（0，-2）
P（x，4）为直线y=4上一点（x≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直线PA₁方程为，直线PA₂方程为
点M（x₁，y₁），A₁（0，2）的坐标满足方程组可得
点N（x₂，y₂），A₂（0，-2）的坐标满足方程组    可得
由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y=4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，
当x=1时，直线MN的方程为，令x=0，得y=1可猜测定点的坐标为（0，1），并记这个定点为B
则直线BM的斜率k_BM===
直线BN的斜率k_BN===
∴k_BM=k_BN，即M，B，N三点共线，故直线MN通过一个定点B（0，1），
又∵F（0，-1），B（0，1）是椭圆E的焦点，
∴△FMN周长=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到方程组、三点共线与斜率的关系等是解题的关键．